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CURSO DE HP 50-G E HP-12

CURSO DE HP 50-G E HP-12

HP 12-C

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HP-50G



APLICAÇÕES MATEMÁTICAS COM A CALCULADORA HP 50 G (CURSO PRÁTICO)

Mini curso ministrado na semana da engenharia de 2012 (26 a 30 de Março de 2012)

AUTOR: JESSE MOREIRA OLIVEIRA.

ÍNDICE

 

ALGÉBRICO VERSUS RPN

O modo RPN (REVERSE POLISH NOTATION) é uma notação disponível nas calculadoras HP e em função de sua praticidade, usaremos preferencialmente tal modo.

Para passar de um modo para outro tecle MODE, CHOOS (tecla F2) e escolha a opção desejada ou então use a tecla +ou- para alternar entre os dois tipos.

Pratiquemos a digitação de alguns exemplos

2+2-3x5

2x3 − 4x2 + 3x − 4 = 0

SUBSTITUIR VALORES NAS VARIÁVEIS DE UMA EQUAÇÃO

Usaremos o comando SUBST

EXEMPLO:achar o valor numérico da expressão x2-5x+6 no ponto x=4

RESOLUÇÃO: Digite conforme a figura abaixo.

Para simplificar a resposta aperte EVAL (EVALuation)

SALVANDO VARIÁVEIS NA MEMÓRIA DA CALCULADORA

EXEMPLO:Salve o número do telefone do Jessé 91087148 (esse é só para as meninas- hahaha) na memória “A” da calculadora.

RESOLUÇÃO: digite o nome da memória dentro de ASPAS, veja figura abaixo, aperte a setinha para frente (para tirar o cursor do sinal de aspa aberta) e depois clique em STO.

Para acessar o número memorizado tecle a tecla correspondente a variável “A” nesse caso F1, ou digite A e depois clique em ENTER.

LIMPANDO A MEMÓRIA DA CALCULADORA

MODO 1 (utilizando as teclas do teclado): Para apagar alguma variável ou número memorizado na calculadora tecle o SHIFT BRANCO, APPS (segunda função FILES), escolha o diretório (no exemplo anterior a variável está no HOME), clique em F6 (OK), escolha a variável a ser apagada (utilizando a setinha para cima ou para baixo), depois pressione NXT e clique em PURGE.

MODO 2 (utilizando as linhas de comando): digite na área de comando o nome da memória dentro de aspas (no exemplo anterior digite ‘A’), , aperte a setinha para frente (para tirar o cursor do sinal de aspa aberta) dê um espaço (pressionando SPC) e depois digite na linha de comando a palavra PURGE.

RESOLVER EQUAÇÕES

A calculadora apresenta o menu SOLVER para resolução de equações.Para resolução analítica (ou seja, por manipulação algébrica), utilizamos o menu S.SLV, ou NUM. SLV (numeric solver) para resolução numérica (utilizado quando a calculadora não consegue resolver analiticamente)

EXEMPLO: Resolva a equação polinomial abaixo

RESOLUÇÃO: digite a expressão

em seguida clique em S.SLV e escolha a opção SOLVE

clique em OK (F6) e pronto temos a resposta.

Exemplo 2: Resolva a equação polinomial abaixo

2x3 − 4x2 + 3x − 4 = 0

RESOLUÇÃO: digite a expressão

em seguida clique em S.SLV e escolha a opção SOLVE

clique em OK (F6) e pronto

OBS: a calculadora trabalha, em forma padrão, com o conjunto dos números reais, entretanto, a resposta desse problema nos indica que não existe solução no conjunto dos números reais, sendo assim, teremos de tentar encontrar uma solução no conjunto dos números complexos.

COMO? Clique em MODE, CAS (F3) e marque a opção COMPLEX (utilizando o F3) e depois clique em OK. Refaça os cálculos e veja a resposta.

A resposta não pode ser encontrada, sendo assim, procuraremos uma resposta real, utilizando o NUM.SLV. veja: (antes volte ao CAS como anteriormente e desmarque a opção COMPLEX ou então digite na linha de comando a palavra CASCFG)

Escolha a opção 1 (Solve equation) e depois clique em EDIT (F1)

Clique em OK (F6) e “chute” um valor inicial para o “X” (qualquer valor, exemplo 1) e clique em OK (F6). Com o cursor na posição do x=1 tecle em solver (Tecla F6) e assim encontramos a resposta.

Chute outro valor e verifique se existe outra resposta além dessa (você irá perceber que essa é a única solução real para o problema)

GRÁFICOS

GRAFICOS 2D

Como exemplo inicial faremos o gráfico da equação x2-5x+6

COMENTÁRIOS: Com sabemos, trata-se de uma equação do 2 grau, cujo gráfico será uma parábola. Para vermos toda a parábola é necessário escolhermos valores de x que nos permita visualizar antes e depois das duas raízes da equação.

Vamos usar a HP 50 G para determinar as raízes (ou zeros) dessa equação, para isso digite a expressão

Em seguida vá ao menu S.SLV e escola a opção ZEROS

Clique em OK e temos as raízes: x=2 e x=3.

Portanto, faremos o gráfico (por exemplo) entre x=1 e x=4

COMO?

Pressione (e não solte) o SHIFT BRANCO e em seguida clique em 2D/3D (tecla F4)

Desça o cursor para EQ e digite a expressão (utilizando o RPN) ou utilizando o EQW (editor de equação)

Clique em ok (F6) e a equação aparece no local apropriado.

Agora é necessário escolher a janela do gráfico (ou seja, de onde até onde o gráfico será desenhado). Para isso vamos usar o intervalo (acima mencionado),

Para escolher os intervalos do gráfico pressione (e não solte) o SHIFT BRANCO e em seguida pressione a tecla WIN (tecla F2), digite nos valores de H-VIEW (valores horizontais, ou seja, eixo x) os números 1 e na frente 4. Para escolher os valores de Y pressione AUTO (tecla F4) e assim a 50 G irá escolher automaticamente o tamanho do gráfico no eixo Y veja:

Em seguida pressione ERASE (Tecla F5) e DRAW (tecla F6) e a 50 G irá plotar o gráfico.

Para ver os valores dos pares ordenadas sobre cada ponto do gráfico clique em TRACE (tecla F3) e (X,Y) (tecla F2) e com as setinhas para frente ou para trás vá navegando pelo gráfico e vendo em tempo real os valores de x e y.

Para sair do gráfico e voltar à tela inicial basta pressionar a tecla ON (duas vezes).

OBS: pressionando a tecla VAR, você verá que a máquina armazena um valor para x na memória. Eis ai um grande inconveniente, pois se você for digitar outra equação envolvendo x não conseguirá, pois a mesma colocará esse número no lugar do x.

Para resolver esse problema criei o seguinte programa, ao qual denomino de LIXO.Digite o seguinte código:

 

tecle ENTER e em seguida digite ‘lixo’ (dentro de aspas) e pressione STOe você verá o programa na tela da máquina, conforme figura abaixo.

Para executar o programa basta apertar a tecla correspondente (nesse caso F1). Pressione F1 e veja que as variáveis “x”, “EQ” e “PPAR” desaparecerão automaticamente. Use sempre esse programa ao fazer qualquer gráfico.

Exemplo 2: gráfico de duas funções simultâneas

Faremos o gráfico simultâneo das duas funções abaixo

No intervalo e

A maneira mais simples de fazer é pressione (e segure) o SHIFT BRANCO em seguida a tecla Y= (tecla F1), a tecla ADD (tecla F2) e digite a primeira equação.

OBS: o módulo é a tecla ABS.

Pressione ENTER, ADD novamente, digite a segunda equação e pressione ENTER duas vezes.

Pressione o SHIFT BRANCO (sem soltar) e depois WIN (F2) e ajuste oH-VIEW (eixo x) de -3,14 a 3,14 e o V-VIEW (eixo y) de -3,5 a 1

Pressione ERASE (F5), depois DRAW (F6) e pronto: teremos um gráfico super-romântico.

GRÁFICOS 3D

Como exemplo iremos fazer o gráfico da função de duas variáveis

No intervalo

Pressione SHIFT BRANCO, 2D/3D, CHOOS (tecla F2) e escolha a opção FAST 3D

Em seguida digite a equação

Clique em OK e escolha a janela apropriada (conforme intervalo mencionado anteriormente), pressione ERASE e em seguida DRAW.

Após a plotagem do gráfico você pode rodá-lo na tela em tempo real com as teclas direcionais (experimente e divirta-se)

OPERAÇÕES COM LISTAS

Imagine que você necessite calcular o valor numérico de uma expressão f(x) (OU DE VÁRIAS VARIÁVEIS) para diversos valores de x. Pelo que discutimos anteriormente seria possível usar o comando SUBST para cada um dos “n” valores, porém, teríamos de realizar essa operação “n” vezes o que seria cansativo e enfadonho. Felizmente com o auxilio das listas podemos fazer esse cálculo uma única vez.

Exemplo: calcule o valor de x2-5x+6 para os seguintes valores

x={1,3,5,7,9,11}

RESOLUÇÃO: digite

Assim a calculadora armazenará um conjunto de dados (uma lista) com o nome de x.

Agora digite no EQW (editor de equação) a expressão anterior

Pressione ENTER e em seguida EVAL e você terá o resultado da operação para cada um dos valores de x.

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES.

PRODUTO E SOMA DE MATRIZES.

Exemplo: considere as matrizes abaixo, salve cada uma delas na memoria da calculadora com os nomes A e B, efetue a multiplicação AxB e confira o resultado abaixo.

Para escrever a matriz use o editor de matrizes MTRW (pressione o SHIFT BRANCO ANTES DE APERTAR MTRW) veja:

Pressione ENTER e salve com o nome A (conforme já vimos anteriormente)

Faça o mesmo com a matriz B

Agora pressione A (está em F1) e depois B (esta em F2) e em seguida aperte a tecla de multiplicação, cujo resultado será:

Agora confira o resultado da adição de matrizes

Faça o mesmo que o exemplo anterior, porém, use a adição no final ao invés da multiplicação.

INVERSA DE UMA MATRIZ

Para inverter uma matriz basta digitá-la e em seguida pressionar a tecla 1/x (inverso).

Exemplo calcule a inversa da matriz A do exemplo anterior.

Chame a matriz A e pressione 1/x veja

Cujo resultado será:

OBS: se você quiser ver o cálculo da matriz inversa passo a passo (para fazer uma prova, por exemplo) faça o seguinte: vá em MODE, CAS (F3), marque a opção STEP-STEP e pressione ENTER duas vezes.

Exemplo: Chame a Matriz A novamente e pressione 1/x. A 50 G mostrará a resolução passo a passo (pressione ENTER para passar a próxima etapa).

TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ

Chame a matriz A, por exemplo, em seguida pressione o SHIFT BRANCO (e solte-o), depois o número 5 (segunda função MATRICES), escolha a opção OPERATIONS.

E a opção TRAN (opção 17) e veja a transposta da matriz (ou então digite na linha de comando TRAN), ou seja, as linhas se transformam em colunas e vice-versa.

DETERMINANTE

Chame a matriz desejada, digite na linha de comando DET, ou então vá até OPERATIONS e escolha a opção DET.

SISTEMAS LINEARES

Exemplo: resolva o sistema Linear abaixo

NA 50 G vá até NUM.SLV. e escolha a opção SOLVE LIN. SYS..

O qual aparecerá na tela

Clique em EDIT (F1) e na matriz A coloque os coeficientes da matriz incompleta do sistema, veja a matriz A:

Pressione ENTER, vá até a matriz B, clique em EDIT (F1) e digite os dados da matriz B, veja a matriz B:

Clique em ENTER vá até a matriz x

E clique em SOLVE (Tecla F6) e em seguida pressione ENTER

a máquina nos mostra que o resultado do sistema linear é x1=3; x2=4 e x3=5

ESCALONAMENTO DE GAUSS

Outro método de resolver sistemas lineares é por escalonamento de Gauss.

Na 50 G digite a matriz com todos os coeficientes do sistema. Como exemplo digitaremos os coeficientes do exemplo anterior veja:

Para escalonar o sistema, digite na linha de comando RREF (reduced row echelon form)

e o resultado será:

Cuja leitura será 1x1=3; 1x2=4 e 1x3=5 o que está de acordo com a resolução feita por outro método.

DERIVADAS E INTEGRAIS

A calculadora é capaz de integrar e derivar em qualquer variável, porém, é mais fácil fazer as mesmas na variável x

DERIVADA.

Exemplo: calcule para

Digite na 50 G

Em seguida vá até o menu de cálculo (SHIFT BRANCO E A TECLA 4) e escolha a opção DERVX (DERIVADA NA VARIÁVEL X, OU SEJA, O QUE NÃO FOR X SERÁ CONSIDERADO CONSTANTE)

Clique em OK e pronto você terá o resultado. Se for necessário fazer alguma simplificação (que nem sempre simplifica as coisas) tecle EVAL e o resultado será

DERIVADA SEGUNDA NA VARIÁVEL X

Exemplo: calcule para

NA 50 G escreva a função e chame a derivada (DERVX)

O resultado da derivada primeira será:

Chame novamente o DERVX e pressione EVAL para simplificar. O resultado será:

DERIVADA EM OUTRA VARIÁVEL

Se você quiser derivar em outra variável vá até o EQW (SHIFT VERMELHO, em seguida a tecla O (LETRA O). Pressione o SHIFT VERMELHO novamente e a tecla COS.

Exemplo:

Calcule

NA 50 G DIGITE

Pressione ENTER e em seguida EVAL, cujo resultado será:

INTEGRAL INDEFINIDA

As integrais indefinidas podem ser feitas mais facilmente na variável x

Exemplo: calcule

Na 50 G digite a função a ser integrada

Em seguida vá ao menu CALC (SHIFT BRANCO E A TECLA 4) e escolha INTVX (integral na variável x)

Clique em OK e depois EVAL (se você quiser simplificar a resposta). Cujo resultado será:

INTEGRAL INDEFINIDA EM OUTRA VARIÁVEL

Exemplo: calcule:

Para resolver a integral em outra variável digite a função e depois a variável (logo abaixo a função) veja:

Em seguida digite na linha de comando RISCH

E o resultado será:

INTEGRAL DEFINIDA

As integrais definidas são feitas facilmente no editor de equação EQW

Exemplo: calcule

Na 50 G digite no EQW (OBS: o símbolo de integral é acessado pressionando o SHIFT VEREMELHO e a tecla TAN)

Pressione ENTER e EVAL. O Resultado será:

Se você quiser transformar esse número em decimal aperte o SHIFT VERMELHO e a tecla ENTER (segunda funçãoNUM), cujo resultado será:

CALCULANDO E VISUALISANDO A AREA DO GRÁFICO (OU SEJA, O VALOR DA INTEGRAL)

Suponha que você está interessado em visualizar a área integrada no exemplo anterior. Para isso construa o gráfico da função no intervalo [0,1], ou seja, o intervalo que foi feita a integração.

Vá até 2D/3D e faça o gráfico

no intervalo [0,1]

Pressione TRACE, (X,Y) e leve o cursor até o ponto x=0 e em seguida pressione NXT, FCN (tecla F4) e clique em AREA.

Pressione NXT novamente PICT, TRACE, (X,Y) e vá com o cursor para x=1.

Pressione NXT, FCN e AREA (novamente). Pronto a calculadora mostra o valor da área da figura.

Observe que esse é o mesmo valor calculado pela integral.

Para visualizar a área calculada pressione NXT e SHADE. Pronto assim a 50 G irá colorir para lhe mostrar a área que foi calculada.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (cálculos semiautomáticos.)

Exemplo resolver a equação diferencial com a condição inicial

Primeiro devemos separar as variáveis, obtendo:

Integrando cada lado com a HP obtemos

(solução geral)

Para achar a particular digitamos na HP a expressão acima e substituímos o y por 2 e o x por 0 veja:

Em seguida, utilizando o solve, mande calcular o valor de C

Cujo resultado é:

Assim a solução particular será dada por:

Para isolar o Y digitamos

Cujo resultado será:

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Exemplo: converta 10 cm2 para m2

Digite na 50 G

OBS: as unidades estão disponíveis em SHIFT VERMELHO e TECLA

6 (em seguida)

Para converter para m2 digite (sempre, sempre, sempre) o número 1 antes da unidade a ser convertida.

NO nosso exemplo digite

Em seguida digite na tela de comando CONVERT

Cujo resultado será:

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