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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS e PROPOSTOS DE PA E PG

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS e PROPOSTOS DE PA E PG

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

  • Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
  • se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

an = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d) a = b = c

e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:

(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:


Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:


Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.

Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a – 6 e c = a – 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45

=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

 

Lista de exercícios PA e PG

 

1. O valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3 e x + 9  estejam, nessa ordem, em PA é

 

    A)   1

 

    B)   0

 

    C)   -1

 

    D)   –2

 

2. O centésimo número natural par não negativo é

 

    A)   200

 

    B)   210

 

    C)   198

 

    D)   196

 

3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272?

 

    A)   100

 

    B)   115

 

    C)   127

 

    D)   135

 

4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?

 

    A)   R$ 17,80

 

    B)   R$ 20,00

 

    C)   R$ 18,00

 

    D)   R$ 18,70

 

5. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro.

 

Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?

 

    A)   6

 

    B)   8

 

    C)   10

 

    D)   12

 

6. Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?

 

    A)   3000

 

    B)   1840

 

    C)   2187

 

    D)   3216

 

7. Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?

 

    A)   R$ 12 700,00

 

    B)   R$ 13 000,00

 

    C)   R$ 11 800,00

 

    D)   R$ 13 200,00

 

8. Segundo a lei de Malthus, a população humana cresce em progressão geométrica, enquanto as fontes de alimento crescem em progressão aritmética.

 

    a)  Explique o significado matemático dos termos progressão geométrica e progressão aritmética.

 

     b)  O que aconteceria à humanidade, segundo à lei de Malthus?

 

9. Isis abriu uma caderneta de poupança no dia 1/2/2000 com um depósito inicial de R$ 1000,00. Suponha que os rendimentos da poupança sejam fixos e iguais a 3% ao mês.

 

    a)    Qual o montante dessa conta em 1/8/2000?

 

    b)    Em quantos meses ela terá um montante aproximadamente R$ 1 512,60?

 

10. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de:

 

     a) 480 m                                            b) 600 m

 

11. (UFMG)Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos.

 

Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é

 

     A)  75%

 

     B)  80%

 

     C)  83,33%

 

     D)  87,5%

 

12. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é

 

     A)   1             

 

     B)   2

 

     C)   3

 

     D)   4

 

13. A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

 

14. Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.

 

15. O salário inicial de um funcionário é de R$ 1 200,00. Supondo que esse funcionário receba um aumento de 5% a cada mês subsequente, de quanto será o salário dele após 6 meses?

 

16. São dados quatro números positivos: 12, x, y, 4. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, achar x  e  y.

 

17. Um professor de educação física organizou seus 210 alunos para formar um triângulo. Colocou um aluno na primeira linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. O número de linhas é   

 

     A)    10

 

     B)    15

 

     C)    20

 

     D)    30

 

     E)    NRA

 

18. A razão da P.G. (a, a + 3, 5a – 3, 8a) é      (1,0)

 

     A)    1

 

     B)    2

 

     C)    3

 

     D)    4

 

     E)    NRA

 

19. Quantos termos tem a PA (5, 10, ..., 785)?

 

     A) 157

 

     B) 205

 

     C) 138

 

     D) 208

 

20. Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67 500 metros, o número de metros percorridos no 3° dia foi

 

     A)    1 000

 

     B)    2 000

 

     C)    1 500

 

     D)    2 500

 

     E)    2 600

 

21. Uma certa espécie de bactéria divide-se em duas a cada 20 minutos, e uma outra, a cada 30 minutos. Determine, após 3 horas, a razão entre o número de bactérias da 1ª e o da 2ª espécies, originadas por uma bactéria de cada espécie.

 

     A)    8

 

     B)    4

 

     C)    2

 

     D)    0

 

     E)    12

 

22. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de 480 m.

 

23. O valor de x, de modo que os números  3x – 1,  x + 3  e  x + 9  estejam, nessa ordem, em PA é:

 

     A)      1

 

     B)      0

 

     C)      –1

 

     D)      –2

 

25. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros são  1 – a, -a, . O quarto termo dessa progressão é:

 

     A)      1

 

     B)      4

 

     C)      2

 

     D)      3     

 

26. Um pintor consegue pintar uma área de 5 m2  no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m2 a mais do que pintou no dia anterior. Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m2?

 

     A)      11°

 

     B)      12°

 

     C)      13°

 

     D)      14° 

 

27. O valor de x , de modo que a seqüência (3x +1, 34 - x,  33x +1) seja uma progressão geométrica é:

 

     A)      1

 

     B)      2

 

     C)      3

 

     D)      4

 

28. Em um rebanho de 15 000 reses, uma foi infectada pelo vírus “mc1”. Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o “mc1” exterminará a metade do rebanho?

 

     A)   15 dias

 

     B)   16 dias

 

     C)   17 dias

 

     D)   18 dias

1) Represente os termos a7, a2, a3 e a4, de uma P.G., em função dos a9, a5, a1 e a3 respectivamente.

Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo.

Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer outro termo.

Para representarmos a7 em função de a9 temos:

Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.

a9 está dois termos à direita a7, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a7 = a9 . q-2.

a5 vem três termos depois de a2, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a2 = a5 . q-3.

a1 vem dois termos antes de a3, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a3 = a1 . q2.

a3 está um termo à esquerda a4, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a4 = a3 . q.

2) O produto dos 7 termos de uma P.G. é igual a 4586471424. Qual é o quarto termo?

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a4 teremos:

P.G. ( a4q-3, a4q-2, a4q-1, a4, a4q, a4q2, a4q3 ).

A representação do produto dos termos será então:

Perceba que na expressão acima q-3 anula q3, assim como q-2 anula q2 e q-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a4. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a3, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

RespostaO quarto termo é igual a 24.

3) Dadas as sucessões P.G. ( x, y, 147 ) e P.A. ( 5x, y, 27 ), ambas crescentes, quais os valores de x e de y?

O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente podemos igualar as duas médias assim:

A variável x pode assumir, portanto os valores 3 e 9,72.

Para x = 9,72 temos a P.A. ( 48,6, y, 27 ) que não é aceitável pois o enunciado especifica uma P.A. crescente, então não podemos considerar o valor 9,72.

Para x = 3 temos a P.A. ( 15, y, 27 ) e a P.G. ( 3, y, 147 ) que estão dentro dos padrões do enunciado.

Como y é um termo médio, tanto da P.A., quanto da P.G., vamos calculá-lo na P.A., pois é mais simples:

Assim sendo:

RespostaO valor de x é 3 e o valor de y é 21.

Enunciado4) O sexto termo de uma P.G. é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, qual é o terceiro termo?

Como o terceiro termo está 3 termos à esquerda do sexto termo, podemos expressar a3 em função de a6 da seguinte forma:

Como:

Temos:

Portanto:

RespostaO valor do terceiro termo é 100.

5) Se somarmos os 7 primeiros termos da P.G. ( 7, 21, ... ) qual será o valor obtido?

A razão da sucessão pode ser obtida da seguinte forma:

Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:

Calculando temos:

Logo:

RespostaO valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será de 7651.

Enunciado6) Ao somarmos o segundo, o quinto e o sexto termo de uma P.G. obtemos 400. Ao somarmos o terceiro, o sexto e o sétimo termo, obtemos o dobro disto. Quanto obteremos se somarmos os três primeiros termos desta progressão?

A partir do enunciado montamos duas equações:

Podemos escrevê-las em função do primeiro termo para ficarmos com apenas duas variáveis, a1 e q:

Repare que podemos colocar q em evidência na segunda equação:

Perceba que esta providência nos permitirá encontrar o valor de q, já que o valor que está entre parênteses é exatamente igual à primeira equação:

Substituindo q pelo seu valor na primeira equação, já com os termos colocados em função de a1, encontraremos o valor deste termo:

Finalmente, sabendo que a1 = 8 e que q = 2, podemos calcular o valor da soma dos três primeiro termos:

Portanto:

RespostaA soma dos três primeiros termos desta progressão é igual a 56.

7) Qual é o produto da multiplicação dos 5 primeiros termos da P.G. ( 6, 9, ... )?

A seguir obtemos a razão da sucessão:

As variáveis que dispomos para a solução do exercício são:

Aplicando a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma progressão geométrica temos:

Enfim:

RespostaO produto dos cinco primeiros termos da referida P.G. é de 448403,34375.

8) O sétimo termo de uma P.G. é igual a 1458 e o nono é igual a 13122. O primeiro é igual a quanto?

Do enunciado temos:

Sabemos que o termo a8 é média geométrica dos termos a7 e a9 conforme abaixo:

Podemos calcular a razão da progressão, pois sabemos que podemos obtê-la como a seguir:

Sabendo que a razão q = 3, podemos encontrar a1 que se localiza 6 termos à esquerda de a7. Então temos:

Logo:

RespostaO primeiro termo desta P.G. é igual a 2.

9) Qual é a soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)?

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:

Os dados que dispomos são:

Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:

Agora já dispomos de todos os dados necessários ao cálculo da soma dos termos:

Assim sendo:

RespostaA soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683) é igual a 29520.

Enunciado10) Qual é o valor de x na P.G.(x - 40, x, x + 200)?

Como x é média geométrica entre x - 40 e x + 200 temos:

Portanto:

RespostaO valor de x na progressão geométrica é 50.

Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética

EnunciadoQual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?

Identificando as variáveis do problema temos:

Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do vigésimo termo:

Logo:

RespostaO vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.


EnunciadoQual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?

Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a 2. Este é o valor da razão.

O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis:

Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do termo geral iremos obter o número de termos da sucessão:

Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:

Portanto:

RespostaA soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.

*************************************************************************************************

(UFF) Um capital inicial de R$100,00 é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros simples de 20% ao mês, ou seja, o valor do capital é alterado a cada mês com um aumento de 20% em relação ao capital inicial. A sequência de valores do capital, a cada mês, forma uma:
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
(C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 2


Solução: Temos que R$100,00 é o valor do capital inicial. Como, 20% de 100 é 0,2×100 = 20, a sequência de valores (veja a tabela) é uma progressão aritmética (sequência linear), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado de um número fixo (que no caso é 20).

 

ao final do primeiro mês

ao final do segundo mês

ao final do terceiro mês

ao final do quarto mês

e assim por diante

R$120,00

R$140,00

R$160,00

R$180.00

. . .

Portanto, temos uma Progressão Aritmética de razão (ou diferença) r = 20. Logo, (C) é a alternativa correta.


(UFF) Um capital inicial é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros compostos de 20% ao mês. ou seja, o valor do capital aplicado é alterado a cada mês com um aumento de 20% em relação ao mês anterior. A sequência  de valores do capital, a cada mês, forma uma:
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 2


Solução: Pela Matemática Financeira, aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar este valor por 1,2. Seja R$100,00 o capital inicial. A sequência de valores (veja a tabela) é uma progressão geométrica (sequência exponencial), pois, cada termo, a partir segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo (que no caso é 1,2).

 

ao final do primeiro mês

ao final do segundo mês

ao final do terceiro mês

ao final do quarto mês

e assim por diante

R$120,00

R$144,00

R$172,80

R$207,36

. . .

De um modo geral, para um capital inicial C qualquer, temos a sucessão:

ao final do primeiro mês

ao final do segundo mês

ao final do terceiro mês

ao final do quarto mês

e assim por diante

C×(1,2)

C×(1,2)2

C×(1,2)3

C×(1,2)4

. . .

Assim, temos uma Progresssão Geométrica de razão q = 1,2. Portanto, (D) é a alternativa correta.


Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforos como mostra o desenho a seguir.

Palitos em PA.

a) Quantos palitos são necessários para fazer 100 quadrados?
b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?

   

 


Solução: a) Para fazer um quadrado é necessário 4 palitos. Para fazer dois quadrados é necessário 7 palitos. Para fazer três quadrados é necessário 10 palitos , e assim por diante.
Então, temos uma progressão aritmética:
PA (4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... ), onde o primeiro termo a1 = 4, a razão (ou diferença) r = 3 .
Assim, temos que encontrar o centésimo termo somando 99 razões ao primeiro termo, ou seja,
a100 = a1 + 99r = 4 + 99(3) = 4 + 297 = 301 .

b) O enésimo termo an = a1 + (n-1)r é o número de palitos e o número de termos n é o número de quadrados .
Assim, 250 = a1 + (n-1)r. Segue que 250 = 4 + (n - 1)(3).
O que implica em, 250 = 4 + 3n - 3. Daí, vem que:: n = (250 - 1) / 3. Logo: n = 249 / 3 = 83 quadrados.


Quando o grande matemático Carl F. Gauss (1777 - 1855) tinha cerca de 10 anos, sua turma de escola tinha um professor que gostava de passar problemas de Matemática trabalhosos quando esta fazia bagunça. Uma vez, pediu aos alunos que calculassem a soma dos inteiros de 1 até 100. O professor, ficou bastante surpreso quando, em pouquíssimos minutos, Gauss entregou logo o resultado: 101×50 = 5050. Como ele chegou ao resultado de forma tão rápida?


Solução: Gauss percebeu que na soma 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 , existe a seguinte propriedade: o resultado da soma do primeiro com o último número da série, 1 e 100, é 101; o resultado da soma do segundo com penúltimo, 2 e 99, é também 101; o resultado do terceiro com antepenúltimo, 3 e 98, também é 101; e assim por diante. Como os números de 1 a 100 formam 50 duplas, Gauss multiplicou 101 por 50 e chegou logo ao resultado 5050.

Na verdade, o que Gauss descobriu foi que a soma dos n termos de uma Progressão Aritmética é sempre igual a n vezes a média aritmética de dois valores equidistantes dos extremos da progressão, isto é,

S = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = (a1+an)n/2.

Assim, 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100)×100 / 2 = 101×50 = 5050.



(BANCO DO BRASIL) Numa progressão geométrica, o quarto termo é 20% do terceiro termo. sabendo-se que a1 = 2000, o valor de a5 é:

 

(A) 20/3         (B) 16/5       (C) 12/7         (D) 18/7         (E) 14/7

 


Solução: Seja a PG (a1, a2 , a3 , a4 , a5 , ...).  Para encontramos o quinto termo de uma PG temos que multiplicar o primeiro termo pela razão quatro vezes, ou seja, a5 = a1 × q4 .
Como  a4 = a3 × 20/100 , vem que a razão (ou quociente) da PG é q = a4 /a3 = 20/100 = 2/10.
Então:  a5 = 2000 × (2/10)4 = 2000 × 16 / 10000 = 32/10 = 16/5. Logo, a alternativa correta é a (B).


(BACEN) Observe a sequência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3 , e assim por diante).

Determine a quantidade dos menores triângulos da figura 7.


Solução: Na figura 1 temos 1 triângulo. Na figura 2 temos 4 triângulos menores, Na figura 3 temos 16 triângulos menores, e assim por diante.
Então, temos uma progressão geométrica: PG (1 , 4 , 16 , 64 , ..., a7), onde a1 = 1 , a razão (ou quociente) q = 4.
Nesta sequência o enésimo termo an = a1×qn-1 é o número de triângulos menores e n é o número da figura.
Assim , devemos encontrar o sétimo termo multiplicando o primeiro  termo pela razão seis vezes, isto é,
a7 = a1×q6 = 1×46 = 4096 triângulos menores.


Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?


Solução: Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela  teria recebido R$ 1,00, no segundo dia R$ 2,00 , no terceiro R$ 4,00 , no quarto R$ 8,00 e assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos desta P.G. , ou seja, S = a1(q^n - 1) / (q - 1), onde n = 12 e q = 2.

Daí, vem que S = 1(212 - 1) / (2 - 1) = 212 - 1 = 4096 - 1 = R$ 4.095,00.


(UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00.


Solução: No primeiro dia. Riquinho receberá R$1,00. No segundo R$2,00. No terceiro R$3,00, e assim por diante.
Assim, em 30 dias , receberá a soma S = 1 + 2 + 3 + ... + 28 + 29 + 30.
Podemos também ter S = 30 + 29 + 28 + ... +  3 + 2 + 1.  
Então, S + S = 1 + 30 + 2 + 29 + 3 + 28 + ... +  28 + 3 + 29 + 2 + 30 + 1.
O que implica em, 2S = 31 + 31 + 31 + ... + 31 + 31 + 31  = 31 × 30.  Logo S = 31 × 30 / 2 = 465.
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais.

Poderíamos, também resolver da seguinte maneira: Observe que a soma S é a soma (ou série) dos 30 primeiros termos da PA (1 , 2 , 3 , 4 ,  ... , 29 , 30). Assim, S é 30 vezes a média aritmética de dois valores equidistantes dos extremos da sequência, ou seja,  S = (a1 + an) n / 2 , onde n = 30. Segue que, S = (1 + 30) × 30 / 2 = 31 × 30 / 2 = 465.
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais.


(UFRJ) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se  os quadrados de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado L/3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir.

Calcule a área de F.


Solução: Na etapa 1 a área é: S = 1×1 = 1 cm2.

Na etapa 2 temos a área: S = 1 + (1/3)2+ (1/3)2 + (1/3)2 = 1 + 3(1/9) = 1  + 1/3.

Na terceira etapa temos a área S = 1 + 1/3 + 9(1/9)2 = 1 + 1/3 + 1/9.

Na quarta etapa teremos a área: S = 1 + 1/3 + 1/9 + 27(1/27)2 = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27, e assim por diante. Então, a área do fractal F é a soma infinita S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... .

Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente: a1 = 1 e a razão q = 1/3.

Então, S = a1(qn - 1) / (q - 1). Como n tende a infinito e q = 1/3, vem que qn tende a zero, ou seja, o limite de qn quando n tende a infinito é zero. Por conseguinte, S = -a1 / (q - 1) = a1 / (1-q).
Logo, S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1 / (1 -1/3) = 1 / (2/3) = 3/2 cm2 = 1,5 cm2.

 


EXERCÍCIOS DE PA E PG – Problemas de aplicação

 

01- Uma certa quantidade de latas de atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas, conforme a figura abaixo. Determine a quantidade de latas de pilha.

 

 

a) 1200 b) 900 c) 700 d) 600 e) 500

 

02- Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na Segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência, até a vigésima fila que é a última. O número de poltronas desse teatro é:

 

 

a) 92 b) 132 c) 150 d) 1320 e) 1500

03- Em um certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que cada fila tem 2 telhas a mais que a anterior. Um telhadista está calculando quantas telhas precisa para as 4 faces do telhado. Ajude-o a calcular o número de telhas sabendo que cada face leva 4 telhas na primeira fileira e 38 na última fileira de cima para baixo.

a) 378 b) 756 c) 1512 d) 156 e) 312

 

 

04- (UNIRIO) O fichário de clínica médica de um hospital possui 10 000 clientes cadastrados em fichas numeradas de 1 a 10 000. um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre pessoas que procuravam o setor, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham números múltiplos de 15. Quantas fichas não foram analisadas?

 

a) 666 b) 1 500 c) 1 666 d) 8 334 e) 9 334

 

 

 

 

 

COMPLEMENTO PA E PG

 

Exercício 01: Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...)? Resp: a15= 88

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 02: Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...). Resp: a5=9a – 11b

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 03: Qual é o centésimo número natural par? Resp: a100=198

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 04: Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ? Resposta: 9ª posição

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 05: Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ? Resposta: n = 8

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 06: Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:

 

 

 

a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?

 

b) Quantas unidades foram produzidas em 1991?

 

 

 

Resposta: a) 14930; b) 48530

 

Exercício 07: Observe na figura o número de mesas e o número máximo de lugares disponíveis em cada configuração.

 

Considere que a sequência de configurações continue, segundo o padrão apresentado.

 

a) Complete a tabela anterior.

 

b) Quantos lugares, no máximo, estarão disponíveis em uma configuração com 100 mesas? Resposta: 202

 

 

 

Exercício 08 :"Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em 25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo que, dadas as condições médias da terra disponíveis em seu tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em progressão aritmética".

 

 

 

A lei de Malthus cita progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG).

 

Se os dois primeiros termos de uma sequência são x1 = 6 e x2 = 12 o quinto termo será:

 

 a) x5 = 16 se for uma PA e x5= 24 se for uma PG.

 

b) x5= 24 se for uma PA e x5= 96 se for uma PG.

 

c) x5= 30 se for uma PA e x5= 30 se for uma PG.

 

d) x5= 30 se for uma PA e x5= 96 se for uma PG.

 

e) x5= 48 se for uma PA e x5= 72 se for uma PG.

 

Resposta: D

 

Exercício 09: A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a 1 é

 

a) 4.566.

 

b) 4.877.

 

c) 5.208.

 

d) 5.539.

 

e) 5.880.

 

Resposta: E

 

Exercício 10: Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

 

a) 20

 

b) 21

 

c) 22

 

d) 23

 

e) 24

 

Resposta: C

 

Exercício 11: O conjunto formado pelos números naturais cuja divisão por 5 deixa resto 2 forma uma progressão aritmética de razão igual a:

 

a) 2

 

b) 3

 

c) 4

 

d) 5

 

e) 6

 

Resposta: D

 

Exercício 12: Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade com cerca de 10.000 habitantes, cada indivíduo infectado contaminava 10 outros indivíduos no período de uma semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguido nesse ritmo, a partir da contaminação do primeiro indivíduo, pode-se estimar que toda a população dessa cidade ficou contaminada em, aproximadamente:

 

a) 28 dias

 

b) 35 dias

 

c) 42 dias

 

d) 49 dias

 

Resposta: A

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 13: Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certa rede de academias desde janeiro de um determinado ano. Devido ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, de setembro a dezembro. O total de camisetas vendidas nesse quadrimestre e a média de vendas, por mês, durante o ano, foi, respectivamente,

 

a) 1.536 e 128

 

b) 1.440 e 128

 

c) 1.440 e 84

 

d) 480 e 84

 

e) 480 e 48

 

Resposta: B

 

_____________________________________________________________________

 

Exercício 14: "Números triangulares" são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

 

 Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relação Tn = Tn-1+ n, para n = 2,3,4,..., pode-se deduzir que T100 é igual a:

 

a) 5.050.

 

b) 4.950.

 

c) 2.187.

 

d) 1.458.

 

e) 729.

 

Resposta: A

 

Exercício 15: (Ibmec rj 2009) Uma sequência de 5 (cinco) números inteiros é tal que:

 

- os extremos são iguais a 4;

 

- os três primeiros termos estão em progressão geométrica e os três últimos em progressão aritmética;

 

- a soma desses cinco números é igual a 26.

 

É correto afirmar que a soma dos números em progressão geométrica é igual a:

 

a) - 8.

 

b) - 2.

 

c) 8.

 

d) 12.

 

e) 16.

 

Resposta: D

 

______________________________________________________________________

 

Exercício 16: Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...). Resposta: S6= 441

 

 


 

Exercícios

 

 

 

1) Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2.184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2.142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a:

 

 

 

a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 

 

Alternativa B

 

2) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é:

 

a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57

 

Alternativa C

 

3) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a seqüência (18, a2, a3, a4,a5,a6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a3 igual a:

 

a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47

 

Alternativa B

 

4) Se a seqüência (-8,a,22,b,52) é uma progressão aritmética, então o produto a.b é igual a:

a) 273 b) 259 c) 124 d) 42 e) 15

 

Alternativa B

 

5) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de:

 

a) R$ 150,00 b) R$ 250,00 c) R$ 400,00 d) R$ 520,00 e) R$ 600,00

 

Alternativa E

 

6) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se a sua soma é 3280, então ela apresenta:

 

a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos

 

Alternativa B

 

7)Numa P.A. tem-se que a1=-3 e a19=1. Calcule a razão.

 

Resp:r=2/9

 

 8) Num programa de condicionamento físico uma pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia seguinte, 500metros no próximo dia e assim sucessivamente até o décimo dia.Pergunta-se:

 

a)Quantos metros correu no décimo dia?

 

Resp: 1200m

 

b)Qual o total de metros percorridos por essa pessoas nos 10 dias?

 

Resp: 7500m

 

9) Calcule o valor de x para que os números (2x; 1-7x; 3x-11) nesta ordem, formem uma P.A.

 

X=13/19

 

10)Para que valor de x a sequência (x-4; 2x; x+2) é uma P.A?

 

X=-1

 

11) Calcule a soma dos 25 primeiros termos da P.A(1;3;5;...)

 

Resp: S25=625

 

12) Calcule a soma dos 7 primeiros termos da P.G(8;4;2;1;1/2;...)

 

Resp: S7=15875

 

13) Calcular o limite da soma dos termos da P.G(1; 1/2; 1/4; 1/8;...)

 

Lim=2

 

14) Se o preço de um carro novo é R$ 20.000,00 e esse valor diminui R$ 1200,00 a cada ano de uso, qual será o preço deste carro após 5 anos de uso?

 

Resp: R$14.000,00

 

15) Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 184.

 

Resp: ( 100, 112, 124, 136, 148, 160, 172, 184)

 

16) Determine a soma da P.G infinita (1/3 +2/9 +2/27 + ...)

 

Resp: 1

 

17) Calcule o 10° termo da P.G (9,27...)

 

Resp: a10=311

 

18) Calcule o 1° termo da P.G em que a4=64 e q=2.

 

Resp: a1=8

 

19) Qual é a razão de uma P.G em que a1= 4 e a4= 4000?

 

Resp: q=10

 

20) Numa P.G, temos a5=32 e a8=256.Calcule o primeiro termo e a razão dessa P.G.

 

Resp: a1=2 e q=2.


 

EXERCÍCIOS DE PA E PG

 

01- Uma certa quantidade de latas de atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas, conforme a figura abaixo. Determine a quantidade de latas de pilha.

 

 

a) 1200 b) 900 c) 700 d) 600 e) 500

 

 02- Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na Segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência, até a vigésima fila que é a última. O número de poltronas desse teatro é:

a) 92 b) 132 c) 150 d) 1320 e) 1500

 

03- Em um certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que cada fila tem 2 telhas a mais que a anterior. Um telhadista está calculando quantas telhas precisa para as 4 faces do telhado. Ajude-o a calcular o número de telhas sabendo que cada face leva 4 telhas na primeira fileira e 38 na última fileira de cima para baixo.

 

a) 378 b) 756 c) 1512 d) 156 e) 312

 

04- (UNIRIO) O fichário de clínica médica de um hospital possui 10 000 clientes cadastrados em fichas numeradas de 1 a 10 000. um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre pessoas que procuravam o setor, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham números múltiplos de 15. Quantas fichas não foram analisadas?

 

 a) 666 b) 1 500 c) 1 666 d) 8 334 e) 9 334

 

05 (UF-ES) Uma pesquisa acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na 1º observação constatou-se um total de 1 500 bactérias. Observações periódicas revelaram que a população da colônia sempre duplicava em relação à observação imediatamente anterior. Em que observação a colônia alcançou a marca de 375 X 255 bactérias?

 

 

a) 50ª b) 54ª c) 58ª d) 62ª e) 66ª

 

 06- (Fuvest-SP) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a Ö2 . Se o produto dos termos dessa progressão é 239 , então o número de termos é igual a:

 

 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16.

 

 

 

 

07- (Fuvest) A espessura de uma folha de estanho é 0,01 cm. Forma-se uma pilha de folhas, colocando-se duas na primeira vez e em cada vez sucessiva tantas quantas já foram colocadas anteriormente. Repetindo-se 40 vezes a operação, a altura da pilha final seria mais próxima:

 

 a)       da altura de um poste de iluminação;

b)       da distância São Paulo-Rio;

c)       da altura de um período de 40 andares;

d)       de duas vezes a circunferências da Terra;

 

 

08- (ITA-SP) A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r é 50 e a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo termo inicial, menor do que 10, e sendo q = r², podemos afirmar que a soma dos 4 primeiros termos da progressão geométrica será:

 

 

a) 623 b) 129 c) 35 d) 765 e) 13

09- (Viçosa-MG) A superfície de certa folha vegetal aumenta 50% de semana em semana. Ao final de 5 semanas de controle, foi medida sua superfície e obteve-se 30 cm². A superfície atingirá exatamente 60 cm²:

 

a)       somente após a 10ª semana

b)       entre a 9ª e a 10ª semana

c)       entre a 7ª e a 8ª semana

d)       entre a 6ª e a 7ª semana

e)       precisamente na 10ª semana

 

12      -Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate ao solo, ela sobe até a metade da altura de que caiu. A distância total percorrida pela bola em sua trajetória, até atingir o repouso é:

 

a) h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h

13-    Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?

 

a) 10 b) 17 c) 19 d) 22 e) 25

 

14- (UERJ-2000) Leia atentamente:

 

O personagem é conduzido, em linha reta, num mesmo sentido, por uma distância de 30 m e cada passo mede 50 cm. Se um dos carregadores cobrar conforme o padrão indicado, ele receberá, em reais, a quantia de:

 

  a) 400

               b) 500

c) 600

 

 d) 700

 

15- Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.

 

Dentre esses números, o maior é:

 

a) múltiplo de 3

          b) ímpa

          c) quadrado perfeito

 

          d) divisor de 500

 

          e) divisível por 4